问题:
\(L^p \) 空间卷积运算存在单位元吗?
解答: (
ID:
管理员[Alina Lagrange] math@lamu.run
)
不存在. $$ \begin{aligned} \hat{f}(\xi) &=\int_{\mathbb{R}^{n}} f(x) e^{-2 \pi i x \cdot \xi} d x \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(x-\frac{\xi}{2|\xi|^{2}}\right) e^{-2 \pi i\left(x-\frac{\xi}{2|\xi|^{2}}\right) \cdot \xi} d x \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(x-\frac{\xi}{2|\xi|^{2}}\right) e^{-2 \pi i x \cdot \xi} e^{2 \pi i \frac{\xi}{2|\xi|^{2}} \cdot \xi} d x \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}-f\left(x-\frac{\xi}{2|\xi|^{2}}\right) e^{-2 \pi i x \cdot \xi} d x \\ &=\frac{1}{2}\left(\int_{\mathbb{R}^{n}} f(x) e^{-2 \pi i x \cdot \xi} d x-\right. \left.\int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(x-\frac{\xi}{2|\xi|^{2}}\right) e^{-2 \pi i x \cdot \xi} d x\right) \end{aligned} $$ 因此 $$ \begin{aligned} |\hat{f}(\xi)| &=\frac{1}{2}\left|\int_{\mathbb{R}^{n}}\left(f(x)-f\left(x-\frac{\xi}{2|\xi|^{2}}\right)\right) e^{-2 \pi i x \cdot \xi} d x\right| \\ & \leq \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\left(f(x)-f\left(x-\frac{\xi}{2|\xi|^{2}}\right)\right) e^{-2 \pi i x \cdot \xi}\right| d x \\ &=\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left|f(x)-f\left(x-\frac{\xi}{2|\xi|^{2}}\right)\right| d x \end{aligned} $$ 由于 \(L^{1}\) 的连续性, 以及 \(\frac{\xi}{2|\xi|^{2}} \rightarrow 0\) 当 \(|\xi| \rightarrow \infty\) 时,
如果存在一个函数 \(I \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\) 使得 \(f * I=f\) 对所有 \(f\in L^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\) 成立.
根据 \(\hat{f}(\xi) \hat{I}(\xi)=\hat{f}(\xi)\), 我们得到 \(\hat{I}(\xi)=1\) 对所有 \(\xi\) 成立. 根据 \(\hat{f}(\xi) \rightarrow 0\) 当 \(|\xi| \rightarrow \infty\)，矛盾.
